Мы приняли работника с испытательным сроком. На следующий день мы решили оформить его еще и по внутреннему совместительству. Можно ли установить ему еще один испытательный срок на работе по совместительству?

Да, установить испытательный срок при заключении трудового договора о работе по внутреннему совместительству можно.
Как мы уже знаем, при заключении трудового договора в нем по соглашению сторон может быть предусмотрено условие об испытании работника в целях проверки его соответствия поручаемой работе. Отсутствие в трудовом договоре условия об испытании означает, что человек принят на работу без испытания (ч. 2 ст. 70 ТК РФ).
Согласно ст. 60.1 и 282 ТК РФ работник имеет право заключать трудовые договоры о выполнении в свободное от основной работы время другой регулярной оплачиваемой работы у того же работодателя (внутреннее совместительство) и (или) у другого работодателя (внешнее совместительство). То есть это отдельный трудовой договор. А поскольку условие об испытании указывается в трудовом договоре, в рассматриваемой ситуации при заключении договора о работе по внутреннему совместительству можно предусмотреть испытательный срок. При этом срок испытания, установленный на работе по совместительству, никак не повлияет на срок испытания по основному месту работы.